การใช้หลักการของการอนุรักษ์มวลวิเคราะห์การไหลของของไหลในท่อทำให้เราเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วและพื้นที่หน้าตัด และเราได้ความสัมพันธ์ที่เรียกว่าสมการต่อเนื่อง ในหัวข้อต่อไปเราจะใช้หลักการอนุรักษ์พลังงานวิเคราะห์การไหลของของไหล เพื่อที่จะใช้หลักการอนุรักษ์พลังงานคือ

W = Δ K + Δ U {\displaystyle W=\Delta K\,+\Delta U\,} ซึ่งมีความหมายว่าการถ่ายโอนพลังงานคิดได้จากงาน w ซึ่งมีค่าเท่ากับผลบวกของการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของของไหลที่ไหลในท่อของไหลเคลื่อนที่ไปตามท่อตามแนวราบที่ปลายล่างและปลายบน

ตามรูปข้างบนแรงภายนอกที่กระทำต่อของไหลที่อยู่ระหว่าพื้นที่หน้าตัดในระนาบ x และ y มีสองแรงคือ แรงF1 จากของไหลที่อยุ่ทางด้านซ้ายมือ และ แรง F2 จากของไหลที่อยุ่ทางด้านขวามือ

F 1 = P 1 A 1 {\displaystyle F_{1}={\frac {\mathrm {P} _{1}\,}{A_{1}}}}

เมื่อ ρ1 เป็นความดันของของไหลที่กระทำต่อพื้นที่ A1 ทางด้านซ้ายมือ และ

F 2 = P 2 A 2 {\displaystyle F_{2}={\frac {\mathrm {P} _{2}\,}{A_{2}}}}

เมื่อ ρ2 เป็นความดันของของไหลที่กระทำต่อพื้นที่ A2 จากทางด้านขวามือ แรงภายนอกที่ว่านี้ทำให้ของไหลซึ่งอยุ่ระหว่างพื้นที่หน้าตัดที่ x และ y ย้ายไปอยู่ระหว่างพื้นที่หน้าตัด x’ และ y’ ตามลำดับภายในช่วงเวลา∆t

แรง F1ดันของไหลที่พื้นที่ A1ให้ปลายล่างของไหลเคลื่อนที่ตามแนวระดับได้เป็นระยะสูงสุด ∆L1 ดังนั้น งานหรือพลังงานที่ถ่ายโอนให้ของไหลในช่วงที่พิจารณาเท่ากับ

W 1 = F 1 Δ L 1 = P 1 A 1 Δ L 1 {\displaystyle W_{1}=F_{1}\Delta L_{1}\,=\mathrm {P} _{1}\,A_{1}\Delta L_{1}\,}

ภายใน ∆t เดียวกัน ของไหลในท่อถูกดันทำให้ส่วนปลายด้านบนเคลื่อนที่ ตามแนวระดับได้เป็นระยะทางสุงสุด ∆L2 ดังนั้นพลังงานที่ถ่ายโอนมีค่าเท่ากับ

W 2 = F 2 Δ L 2 = P 2 A 2 Δ L 2 {\displaystyle W_{2}=F_{2}\Delta L_{2}\,=\mathrm {P} _{2}\,A_{2}\Delta L_{2}\,}

แต่เนื่องจาก F2 มีทิศทางตรงกันข้ามกับ∆L2 งาน W2จึงมีเครื่องหมายลบ หมายความว่าของไหลในช่วงที่เราพิจารณามีการสูญเสียพลังงาน

ดังนั้นของไหลในช่วงที่เราพิจารณาการเปลี่ยนแปลงพลังงาน W มีค่าเท่ากับ

W = W 1 − W 2 {\displaystyle W=W_{1}-W_{2}} W = P 1 A 1 Δ L 1 − P 2 A 2 Δ L 2 {\displaystyle W=\mathrm {P} _{1}\,A_{1}\Delta L_{1}\,-\mathrm {P} _{2}\,A_{2}\Delta L_{2}\,}

เนื่องจากความหนาแน่นไม่ได้เปลี่ยนไปเนื่องจากความดัน ดังนั้น

A 1 Δ L 1 = A 2 Δ L 2 = Δ V {\displaystyle A_{1}\Delta L_{1}\,=A_{2}\Delta L_{2}=\Delta V\,}

เมื่อ ∆V เป็นปริมาตรของของไหลระหว่างระนาบ X และ Y’ดังนั้น

W = ( P 1 − P 2 ) Δ V {\displaystyle W=(\mathrm {P} _{1}\,-\mathrm {P} _{2}\,)\Delta V}

ถ้า ∆m เป็นมวลของปริมาตร ∆V

V2 เป็นค่าความเร็วของมวล ∆m ที่เคลื่อนที่ออกจากท่อผ่านพื้นA2V1 เป็นค่าความเร็วของมวล∆m ที่เคลื่อนที่ผ่านออกจากท่อผ่านพื้นA1

ดังนั้น พลังงานจลน์ที่เปลี่ยนไปของของไหลในท่อคือ ∆k

และ Δ K = ( 1 2 ) Δ m V 2 2 − ( 1 2 ) Δ m V 1 2 {\displaystyle \Delta K\,=\left({\frac {1}{2}}\right)\Delta m\,V_{2}^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)\Delta m\,V_{1}^{2}}

และ พลังงานศักย์ที่เปลี่ยนไป

Δ U = ( Δ m ) g h 2 − ( Δ m ) g h 1 {\displaystyle \Delta U\,=(\Delta m)gh_{2}-(\Delta m\,)gh_{1}}

ในเมื่อ h1และ h2 เป็นความสุงสุดของจุดศูนย์กลางของพื้นที่ A2และA1 วัดจากระดับพื้นตามแนวราบพลังงานที่ถ่ายโอนนี้มีค่าเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานรวม (พลังงานจลน์+พลังงานศักย์)เราสามารถจัดรูปได้ใหม่เป็น

( P 1 − P 2 ) Δ V = ( 1 2 ) Δ m V 2 2 − ( 1 2 ) Δ m V 1 2 + ( Δ m g h 2 − Δ m g h 1 ) {\displaystyle (\mathrm {P} _{1}\,-\mathrm {P} _{2}\,)\Delta V\,=\left({\frac {1}{2}}\right)\Delta m\,V_{2}^{2}-\left({\frac {1}{2}}\right)\Delta m\,V_{1}^{2}+(\Delta mgh_{2}\,-\Delta mgh_{1}\,)} ( P 1 − P 2 ) = ( Δ m 2 Δ V ) ( V 2 2 − V 1 2 ) + ( Δ m Δ V ) g ( h 1 − h 2 ) {\displaystyle (\mathrm {P} _{1}\,-\mathrm {P} _{2}\,)=\left({\frac {\Delta m\,}{2\Delta V\,}}\right)(V_{2}^{2}-V_{1}^{2})+\left({\frac {\Delta m\,}{\Delta V\,}}\right)g(h_{1}-h_{2})} P 1 + ( 1 2 ) ρ V 1 2 + ρ g h 1 = P 2 + ( 1 2 ) ρ V 2 2 + ρ g h 2 {\displaystyle \mathrm {P} _{1}\,+\left({\frac {1}{2}}\right)\rho V_{1}^{2}+\rho gh_{1}\,=\mathrm {P} _{2}\,+\left({\frac {1}{2}}\right)\rho V_{2}^{2}+\rho gh_{2}\,}

สมการมีชื่อเรียกว่า สมการเบอร์นูลลี เพื่อเป็นเกียรติแก่ Daniel Bernoulli นักวิทยาสตร์ชาวสวิสผู้ก่อตั้งสมการนี้เป็นคนแรกซึ่งช่วยให้เราเข้าใจปรากฏการณ์ธรรมชาติ และหลักการบินของเครื่องบินแบบต่างๆตลอดไปจนถึงการบินของนก

[4]

การบินและแรงยก Flight and Lift

แสดงสายกระแสรอบปีกเครื่องบิน

เครื่องบินทั่วๆไปรวมทั่งเครื่องบินเฮลิคอร์ปเตอร์ตลอดไปจนถึงนก อาศัยแรงดันบรรยากาศที่ได้มาจตาหลักการของสมการเบอร์นูลลี หรือตามหลักการของปรากฏการณ์เบอร์นูลลี นอกจากเครื่องบินและนก เรือต่างๆ เช่น เรือไฮโดรฟอยล์ เรือฮเวอร์คราฟท์ หรือแม้แต่เรือใบหาปลายังได้อาศัยยังได้อาศัยปรากฏการณ์เบอร์นูลลีที่เป็นการทำกิริยาระหว่างเรือกับน้ำ อีกทั้งวัตถุโปรเจกไตล์ เช่น ลูกกอล์ฟลูกฟุตบอลที่สามารถเลี้ยวโค้ง หรือ ไซ้โค้ง ได้อย่างน่าประหลาด สามรถอธิบายตามสมการเบอร์นูลลีได้ว่า การที่ปีกของเครื่องบินถูกออกแบบให้พื้นที่ผิวด้านบนเป็นผิวโค้งออก ทำให้กระแสอากาศเหนือปีกเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูงกว่ากระแสอากาศใต้ปีก ในรูปแสดงสายกระแสด้านบนอยู่ชิดกันมากกว่ากระแสอากาศใต้ปีก ตามหลักของสมการเบอร์นุลลีความดันใต้ปีกมีค่ามากว่าทำให้เกิดแรงยกที่ปีกและเครื่องบินทั้งลำลอยตัวอยู่ในอากาศได้ทั้งนี้สอดคล้องกับหลักการณ์ และทฤษฏีกฎข้อสามของนิวตัน กล่าวคือ จากการทำกิริยาระหว่างปีกเครื่องบินกับอากาศ กระแสอากาศผลักปีนขึ้นด้านบนยกเครื่องบินให้ลอยอยู่ในอากาศได้[5]